奥数问题大家讨论 （Let’s discuss Mathematical Olympiad problems.）
本楼欢迎奥数爱好者（父母或孩子均可）提供你感兴趣（或有疑难）的奥数问题，大家一起讨论。
09/03/2012前为奥数周周练 (Every week practice Olympiad Maths)
备注：中小学生均适合，小学生有他（她）的方法，中学生有他（她）的技巧。请谨遵本楼规则：本楼欢迎奥数爱好者（父母或孩子均可）仅针对问题解答（或方法）作讨论回复，谢绝其它形式回复。答案将在该周或下一周给出，请版亲们给出不同解法和思路进行探讨。
投石问路，先上个答案，不知对不对？
“40”
等待解题妙法。。。
是不是两种方法呀？
横着
１ ２ ３
４ ５ ６
７ ８ ９
枞着
１ ４ ７
２ ５ ８
３ ６ ９
应该是42种。
排列组合？
不可以重复。
我的答案更新：“42”
等一下帖图.
小学生的做法：
谢谢你的“原创”。不知能否将此方法扩展开去？
我还是觉得这样做复杂了些，有点搞脑筋，有没有更简单的方法？请版亲们支招！
“1” 和“9”位置固定后，只需要分别考虑“左中”，“上中”，“中中” 三位的不同数字安排。
的确比较麻烦。小盆友有困难。
期待高招。。。
这题好像没有什么简单的做法。上面这个流程图可能比较适合小学生理解。
1.数字1显然只有一个位置，所以有图P1
2.从P1出发找数字2的位置，有P2,P3两种可能
3.P3和P2对称，我们只要知道P2有几种可能，就知道P3了，所以P3可以不用继续走下去了，用红色标注。
4.余下步骤类似。利用对称或相似，我们可以大大减少分支，在手工穷举能力之内
5.到了P17（数字7）,只有一个可能了，所以标注为1在左上方。P18,P19和P17对称或相似，可以抄P17的标注，也是1
6.沿流程反推回来。比如P15生成P18和P19，那么P15=P18+P19，P15可能的数字排列是2。
7.红色的可以抄同层对称或相似的。比如P9抄P6。
8.这样算到P1，就是答案42
谢谢各位版亲的热情支持与辛勤劳动。
急求奥数老师或推荐 谢谢 请联系83558328 或QQ505524402
Reminder
请谨遵本楼规则：本楼欢迎奥数爱好者（父母或孩子均可）仅针对问题解答（或方法）作讨论回复，谢绝其它形式回复。
答案应该是64，算法也很复杂，况且小学没有学到mod的算法。
答案是12，frekiwang是正确的。
需要哪种拿数学当玩具的小学生才能理解这个解法。
sorry， 太勤劳了，一口气算到100。
本期解答 请见17楼！ 再次谢谢老师的友情出手！
也谢谢各位版亲的辛苦劳动！谢谢你们的热情参与！！
第三期
我的答案是：A）1987，2005。B）无解。
第三期解答：
第四期（选自前些年SMO senior)
这题容易，让小学生来做可能不会输给大学生。
充一下小学生
NN2N3
好厉害的小学生。
第四题我儿子可能会做，等他回家后考考他！:lol
谢谢以上各位！ 这期答案已在你们心中了，我就心照不宣了！
第五期（选自网上，很有意思的一道题目）
小学生方法
BRAINSTORM!
有没有对此类问题通用的方法？
图中用黄色标识的数字都能用(6X+9Y+20Z)表示 （X，Y，Z是自然数），白色则不能。 43 是其中最大的。
可以看6的余数，能被6整除的数肯定不是答案了。如果余1，可能的数字是7，13，19，25，31，37，43，49，。。。。。因为49=20+20+9，所以比49大的数可以表示成6N+20+20+9，肯定不是答案。所以在余数为1的情况下，最大的可能是43。
同理可以看余数是2，3，4，5的情况，最大的可能都比43小，所以这题的答案是43.
谢谢楼上各位。我还在继续寻找更通用的方法。比如数据变成2个或4个等，数值变了，该怎么做？难道是case by case?
第五期解答：
第六期
顶一下
更名，请 见第一楼。
头痛啊
第七期
抱歉！ 这期问题原是一道MCQ题。我把选项拿掉了。看来，似乎要将选项再补上。
(a) 1971 (b) 1972 (c) 1973 (d) 1974
第八期
受楼主提示，给出以下解法
一个数除以3的余数= 这个数的各位数字之和除以3的余数
比如：mod (16,3) =1； mod ((1+6),3) =1
1,2,4,8,16,23,28,38,…
以上的数列，后一个数=前一个数加上其各位数字之和
ｍod（后一个数，3 ）＝ ｍｏｄ（前一个数，３）＋ｍｏｄ（前一个数各位数字之和，３）＝ ２ｍｏｄ（前一个数，３）
1,2,4,8,16,23,28,38,… ｍｏｄ ３
１，２，１，２，１，２，．．．．．
ｍｏｄ（１９７１，３） ＝０ Ｘ
ｍｏｄ（１９７４，３） ＝０ Ｘ
ｍｏｄ（１９７３，３） ＝２
因为是第１５１个数，其余数必是１，故１９７３也不可能，答案是１９７２
猜一猜 ３６
Problem 11.
A theme part isssues entrance tickets bearing 5-digit serial numbers from 00000 to 99999. If any adjacent numbers in the serial numbers differ by 5 (for example 12493), customers holding such a ticket could use the ticket to reddem a free drink. Find the number of tickets that have serial numbers with this property.
(这个是2011年Asia Pacific Mathematical Olympiad for Primary Schools第一轮竞赛的其中一道试题.)
Solution: (provided by jjrchome )
先求相邻2个不等于5的。
首位可取10个，第2、3、4、5位只能取9个，共10*9*9*9*9。
所以相差5的数有 100000-10*9*9*9*9=34390个
Problem 12.
P, Q, R, S and T are equally spaced on a straight rod. P—-Q—-R—-S—-T
If the rod is frist rotated 180 degree about T, then 180 degree about S and finally 180 degree about P, which point’s position remains unchanged?
The given answer is R, but the correct answer should be Q.
Solution: (provided by 我要开心)
P Q R S T
T S R Q P
P Q R S T
T S R Q P
Answer is Q.
Assume code : XX XX XX XX XX
先去除 XX= 11
XX XX XX XX XX XX = 00, 01,10, 共有3X3X3X3X3 种可能
再去除 01 10
（） XX （） XX ( ) XX ( )
01 10 可放在其中任何一个（）位子 ， 共有4X3X3X3 种可能
01 10 XX XX XX
XX 01 10 XX XX
XX XX 01 10 XX
XX XX XX 01 10
其中
01 10 01 10 XX ( 01 10 XX XX XX and XX XX 01 10 XX 重复计算了3次 01 10 01 10 XX )
01 10 XX 01 10 ( 01 10 XX XX XX and XX XX XX 01 10 重复计算了3次 01 10 XX 01 10 )
XX 01 10 01 10 ( XX 01 10 XX XX and XX XX XX 01 10 重复计算了3次 XX 01 10 01 10 )
各多算了3 次，共9 次
3x3X3X3X3 – (4x3x3x3 -9) = 144
你可能指的是以下方法
1+C1/10+C2/9+C3/8+C4/7+C5/6 = 1+10+36+56+35+6 = 144
I discovered the pattern below
P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 …. PN
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
PN = PN-1 + PN-2 (N>=2)
if 11 digits, the answer will be 233
点评
静雯 You are so great! 发表于 前天 18:10
你们都很厉害！希望你们能为教育版多作贡献。建议班主们考虑为此贴加精，以示鼓励。
抛砖引玉
3121
(((((x-1)4/5-1)4/5-1)4/5-1)4/5-1)4/5 must be an integer
上式可推出
X=(3125N+2101)/256 ;N is an integer
3125N + 2101 = (256X12 + 53 ) N + 256X8 + 53 = 256X12N + 256X8 + 53(N+1) 能被256整除
N = 255
X = 3121
这个方法最好了！明了
没当过老师， 因家中有小学生，最近刚把小学知识复习了一下。
不知SMO Junior 针对的是那个年级的学生。看来要复习中学知识了
试题是选择题。另一个解法：
Let AD = 1 and DE = x△ AGE ~ △ CGB(EF+FG)/GB = (EF+FG)/EF = (1+x)/1 —(1)△ ABE ~ △ DEFBF/EF = (EF+FG)/EF = 1/x —(2)Solving (1) & (2), (1+x) = 1/x x2 + x – 1 = 0x = (-1+√5)/2DE/AE = x /(1+x) = (after simplifying) (3 – √5)/2 (答案A)
David的思路，我也是一样能够得到开心女侠的答案的。
但是哇塞，你这个简单啊，我看到这个解题思路真是开心死~~~
回复下面静雯的点评：我儿子很一般，我还被老师叫去喝茶了的。。。但是我知道你家公子很厉害~~~
朋友让我做的 RI open house question，有兴趣你可以试一下，据说五分钟答对，直接DSA
1000 个学生，每人一个LOCKER，编号1~1000，第一个学生打开所有LOCKER，第二个学生走到编号是2的倍数的LOCKER前，如果LOCKER是OPEN的，就CLOSE， 如果LOCKER是CLOSE的，就OPEN， 第三个学生走到编号是3的倍数的LOCKER前重复以上的动作，问1000 个学生走过以后，有多少个LOCKER是打开的？是那些编号的LOCKER？
所有完全平方数（square numbers)是打开的，因为只有这些数有奇数个约数（odd number of factors)，所以打开的是1，4，9，16…961（1至31的平方共计31个）
题目：你有6个半径为1厘米的圆，要不重叠的放进一个边长为x厘米的正方形里，求x的最小值（精确至小数点后5位）
楼上看来是专家，我先探个路
5.32820 CM
2r+2*2r*SinA = 2r+ 3*2r*CosA
SinA/CosA = 3/2
TanA = 3/2
自认为读书时几何学得还不错，汗颜的是花了近一个小时才看懂开心的解答。看来辅导奥数是对我的一个巨大考验啊！
我投降。。。
2011 SMO Junior Round 2
Q5. Initially, the number 10 is written on the board. In each subsequent moves, you can either
(i) erase the number 1 and replace it with a 10,
or
(ii) erase the number 10 and replace it with a 1 and a 25,
or
(iii) erase a 25 and replace it with two 10.
After sometime, you notice that there are exactly one hundred copies of 1 on the board. What is the least possible sum of all the numbers on the board at that moment?
(我这儿没有解答。有解答的版亲请将见解或解答回复在下面。先谢谢了！）
先声明这是书本上抄的
Suppose the number of times that operations (i), (ii) and (iii) have been performed are x, y and z respectively.
Then the number of 1, 10 and 25 are y-x, 1+x-y+2z and y-z, respectively, with y-x=100.
Thus the sum is S=y-x+10(1+x-y+2z)+25(y-z)=-890+5(5y-z)
Since we want the minimum values of S, y has to be as small as possible, and z as large as possible.
Since y-x=100, 1+x-y+2z>=0, y-z>=0
We get, from the first equation, y>=100, from the second inequation, 2z>=99 or z>=50 and y>=z from the third.
Thus the minimum is achieved when y=100, x=0 and z=100.
Thus the sum S=1110
希望牛娃们在拜六取得好成绩！
(Selected from RI Mathselection test) 转述，并非原题。若有出入，请版亲指正。CuteNumber
If a square could be cut into n pieces of at most 2 smaller different squares, n is a Cute Number.For example:
n=4, n =10 are Cute Numbers. Prove that everyinteger greater than 5 is a Cute Number.
以下是我给出的证明，若有不妥，请不吝赐教，谢谢！Proof:
That means odd number whichgreater than or equal to 7 is a Cute Number.Therefore, everyinteger greater than 5 is a Cute Number. Proved.
十台面包机，每台每次生产一公斤面包一只。由于程序故障，其中一台面包机生产的面包重量从一公斤变成了二公斤但外形不变。给你一台电子秤，一次找出哪台出了故障。
（以前做过一道类似的题。）（红色为更正部分）
取第一台生产的面包 1 个，
第二台生产的面包 2 个，
第三台生产的面包 3 个，
… …
第十台生产的面包10 个，
一起放到电子秤上称，
在没有面包机出故障的情况下，电子秤应显示55kg，
如果是第一台面包机出现了故障，电子秤显示55+1 kg,
如果是第二台面包机出现了故障，电子秤显示55+2 kg,
如果是第三台面包机出现了故障，电子秤显示55+3 kg,
… …
如果是第十台面包机出现了故障，电子秤显示55+10 kg,
所以根据电子秤显示的数据，我们可以判断出是哪一台出了故障。
（如果是小型电子秤，显示不了那么大的数字，就将面包各10等分，再各自取1 份，2 份，… ，10份）
想请教楼主，有什么奥数练习题的参考书可以推荐吗？popular买的的SAP的那套全做了。
谢谢davidbin的更正。
今天是来问题的。可论坛断了好一段时间。大家都还在吧？（困扰了好多天了，快想想办法吧！）
In triangle ABC, D is the midpoint of AB. Let E and F be on CA and CB extend such that DE=DF. Construct perpendiculars from E and F to CE and CF respectively, and denote P the intersection of the two perpendiculars. Show that angle PAE= angle PBF.
想到一个方法了。说一个大致思路。
Let M and N be the midpoints of PB and PA. Join FM, MD, ND and NE.
We can get MF=MB=ND， NE=NA=MD,
Triangle MFD is congruent to triangle NDE.
angle FMD=angle DNE.
(we also can get angle BMD = angle DNA)
so angle FMB= angle ENA.
then we can get angle PAE= angle PBF.
证明完了，慢慢打答案中。。。
1. Draw the perpendicular from C to AD, intersecting AC extend at G, intersecting AB extend at H.
2. Since both ME and CH are perpendicular to AD, ME is parallel to CH.
3. In triangle BCH, M is the mid-point of BC, ME is parallel to CH, we can conclude E is the mid-point of BH. (Either by similar triangles or by mid-point theorem). BE is half of BH.
4. In triangle AHC, AG is the angular bisector as well as the height. Therefore, AHC is isoceles, G is the mid-point of CH, angle AHC=angle ACH.
5. Now in triangle DHC, DG is the perpendicular bisector of CH. Therefore, DHC is isoceles, angle DHC = angle DCH.
6. Now angle AHD=angle AHC – angle DHC = angle ACH – angle DCH = angle ACB, so angle BHD = angle ACB.
7. angle ABC is given as 2 * angle ACB = 2 * angle BHD.
8. On the other hand, as an exterior angle of HBD, angle ABC = angle BHD + angle BDH
9. From 7&8, 2 * angle BHD = angle BHD + angle BDH, thus angle BHD = angle BDH, triangle BHD is isoceles.
10. From 3 and 9. BE = half of BH = half of BD. (Shown)
疯狂的题目，感觉难度不低于SMO决赛了。
geogebra是你画图的好帮手，哈哈
谢谢老师给的这个好东东！
已经将上一题的图形补充上去了。
聪明的人，俺没想到一个称上可以放这么多面包，只想到一次只能放一个来称，看来思路太狭隘了
太谦虚了，这水平哪是什么把小学知识复习一下就有了？我怎么复习了几遍也没有啊？
有奥数的家长，必有奥数的小孩。
静雯 发表于 10-9-2012 11:15
（以前做过一道类似的题。）（红色为更正部分）
取第一台生产的面包 1 个，
第二台生产的 …
聪明的人，俺没想到一个称上可以放这么多面包，只想到一次只能放一个来称，看来思路太狭隘了其实也不需要放那么多面包， 第十台可以省掉。
谬赞了！
我想着那么多面包放在一个秤上，确实有点眼晃心慌的感觉。
将面包改成 造币机产出的硬币 （1g/枚 ）感觉就好了。
有儿子的妈妈们加油！！！有女儿的妈妈路过。
非常感谢楼主，不知道点评怎么回，只好回帖了！SMO的还没有，策马扬鞭张罗去。
女儿参加今年小五的奥数比赛，拿了个铜牌。知道了她在什么位置。
看来即使为了学校的荣誉也要好好准备一下了。为明年冲一冲。
刚才把帖子从头看了一遍
去孩子学校问可能更好更快一点。
另外，今年RI组办的奥数比赛已经开始报名了。http://contests.heymath.com/admin/RI13
比赛时间似乎比以前提前了。