这是去年smo junior 的题目，看了答案还是不明白，请各位版亲帮忙，谢谢！
Let P(X) be a polynomial of degree 2010. Suppose P(n)=n/(n+1) for all n=0, 1, 2,……., 2010. Find P(2012).
假设多项式 P'(x) = (x + 1)P(x) – x
因为 P(x) 有2010 次幂, P'(x) 则有2011 次幂
不难发现P'(x) 有根 0, 1, 2, …, 2010. These are the only roots since P'(x) has degree 2011.
所以 P'(x) = C(x – 0)(x – 1)(x – 2)…(x – 2010)
因为 1 = (-1 + 1)P(x) – (-1) = P'(-1) = C(-1)(-2)…(-2011) = C(-1)^2011 2011!
所以 1 = -2011!C ——〉 C = -1/2011!
P'(x) = -1/2011! x(x – 1)(x – 2)…(x – 2010)
P(2012) = (P'(2012) + 2012)/2013
= ((-1/2011! * 2012 * 2011 * … * 2) + 2012)/2013
= ((-2012! / 2011!) + 2012)/2013
= (-2012 + 2012)/2013
= 0
没看过答案，不知是否对和能让你明白？
你的解释和书上的答案基本一样，只是不明白为什么设 P'(x) = (x + 1)P(x) – x，还有题中 P(n)=n/(n+1) for all n=0, 1, 2,……., 2010 应该怎么理解， 两者之间是不是有什么思路可寻？ 谢谢！
谢谢两位的指点，我还有一点疑问，Q（X）=（X+1）P（X）-X 是在 n=0,1, 2, ……,2010 的条件下设定的，为什么P（2012）就一定适合，希望我不是在专牛角尖。
谢谢您的详细解释，感激不尽！
请版亲们指点一下一元多次方程根与根之间的关系，谢谢！
网上搜的：
”
一般的，对一个一元n次方程∑aiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑XiXj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…
∏Xi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，∏是求积。
你可以使用（x-x1）（x-x2）……（x-x3）=a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+……+an推导以上结果，
试试看
“
很好的建议，让孩子试试看, 希望他能明白， 谢谢!
来自中一书本上的题目：
“Every even number greater than two can be expressed as a sum of two prime numbers”. Do you agree? Why?
这个就是强哥德巴赫猜想 —“ 数学皇冠上的明珠” ，也就是我们常说的“1+1”。这个猜想至今无人能够证明。
当年陈景润用了六麻袋的草稿纸才证明出了的“1+2”（任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和），随后穷尽一生也无法解出“1+1”。
“强哥德巴赫猜想”或许永远也无法成为定理了。
谢谢两位的解答，很想知道六麻袋的草稿纸里写的是什么。
两个问题请大侠帮忙, 谢谢!
1. Prove that there are no integers a, b and c that satisfy the equation a^3+b^3=7c^3+3
2. Two circles intersect at point A and B, a common tangent touches the first circle at point C and the second at point D. Let B be inside the triangle ACD. Let the line CB intersect the second circle again at point E.
Prove that AD bisects the angle CAE.
1.
如果x被7除余0，1，2，3，4，5，6; 那么x^3被7除分别余0，1，1，6，1，6，6
左边a^3+b^3被7除余数只可能为0+0 (0)，0+1 (1)，1+1 (2), 0+6 (6), 1+6 (0), 6+6 (5)
右边7c^3+3，被7除余数只可能为3.
多谢两位解答, 感激不尽!